Векторная алгебра Векторная алгебра — раздел векторного исчисления, в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число. Суммой a + b векторов a и b называют вектор, проведенный из начала a к концу b, если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами: A + b = b + a (коммутативность); (а + b)*с = а*(b + с) (ассоциативность); a + 0 = a (наличие нулевого элемента); a + (-a) = 0 (наличие противоположного элемента), где 0 — нулевой вектор; -a — вектор, противоположный вектору а. Разностью a - b векторов a и b называют вектор x такой, что x + b = a. Произведением l x вектора а на число l в случае l ≠ 0 , а ≠ 0 называют вектор, модуль которого равен | l ||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l > 0, и в противоположную, если l < 0 . Если l = 0 или (и) a = 0, то l a = 0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами: l *(a + b) = l *a + l *b (дистрибутивность относительно сложения векторов); ( l + u)*a = l *a + u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел); l *(u*a) = (l *u)*a (ассоциативность); 1*a = a (умножение на единицу). Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). В векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , c называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a , b ,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство: a a + b b +… g c = 0. (1). Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ..., c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a, b, .., c называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a , b ,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов/ Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1, e2, e3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы: A = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3. Числа a1, a2, a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a = {a1, a2, a3}. Два вектора a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3}, b ≠ 0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1 = l b1, a2 = l b2, a3 = l b3 . Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a = {a1, a2, a3}, b = {b1, b2, b3} и c = {c1, c2, c3} является равенство: | a 1 a 2 a 3 |; | b 1 b 2 b 3 | = 0 ; | c 1 c 2 c 3 |. Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} равны суммам соответствующих координат: a + b = {a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3}. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l: l а = {l а1, l a2, l a3}. Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними: (а, b) = | а |*| b | cos j За j принимается угол между векторами, не превосходящий p . Если а = 0 или b = 0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами: (a, b) = (b, а) (коммутативность); (a, b + с) = (a, b) + (а, с) (дистрибутивность относительно сложения векторов); l (a, b) = ( l a, b) = (a, l 6) (сочетательность относительно умножения на число); (a, b) = 0, лишь если а = 0 или (и) b = 0 или a ^ b. Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т. е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k (ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов: A = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3}, заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле: (a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3. Косинус угла j между ненулевыми векторами a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} может быть вычислен по формуле: где и Косинусы углов вектора a = {a1, a2, a3} с векторами базиса i, j, k называют направляющими косинусами вектора а: , , Направляющие косинусы обладают следующим свойством: cos 2 a +cos 2 b +cos 2 g =1. Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами: Пр. е (a + b) = Пр. еa+ Пр. еb (аддитивность); Пр. е a = Пр. е l a (однородность). Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса. В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a, b, c — левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными; b b c c a a Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k: aVb=| a || b |*sin j. Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами: aVb = -bVa (антикоммутативность); aV (b + c) = aVb + aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов); l (aVb) = l aVb (сочетательность относительно умножения на число); aVb = 0, если а = 0 или (и) b = 0 или а и b коллинеарны. Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1,a2} {b1, b2}, то: aVb = a 1 b 1 - a 2 b 2. |
